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Analyse 2 Calcul intégral et équations différentielles mip s1 pdf

 Analyse 2 Calcul intégral et équations différentielles  mip s1 pdf

 Analyse 2 Calcul intégral et équations différentielles mips1
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salut à tous cher étudiant voilà le cours analyse 2 Calcul intégral et équations différentielles mip s1 pdf et vous pouvez le télécharger en format pdf, L'objectif de ce cours pédagogique est de permettre aux étudiants inscrits au première semestre de la licence d'études mip d'aquérir certaines notions de base en Analyse est d’introduire des notions de calcul differentiel, en dimension finie.

Le “calcul differentiel” invente par Leibniz et (ou ?) Newton, pour des fonctions de R dans R tient essentiellement dans la notion de la derivation, et de toutes les techniques et applications autour de celle-ci (inegalite des accroissements finis, formule de Taylor, d´eveloppements limites, etudes simples de fonctions compliquees, de limites, equations differentielles decrivant un systeme physique complexe, etc...)

Calcul intégra

Etant donnee une fonction positive f definie sur un intervalle borne [a, b], on veut evaluer l’aire comprise entre l’axe des abscisses, la courbe representant f et les verticales x = a et x = b . Bernhard Riemann a, le premier, donne une definition precise de l’integrale d’une fonction.

L’idee fondamentale est la suivante : on d´ecoupe le graphe de la fonction par des lignes verticales. Dans chaque bande, on considere le rectangle de hauteur maximale sous le graphe et le rectangle de hauteur minimale au-dessus du graphe.

Si, a mesure que l’on resserre les lignes verticales, cours analyse 2 calcul intégral et équations différentielles mip la somme des aires des petits rectangles tend vers la somme des aires des grands rectangles, on dit que la fonction est integrable au sens de Riemann et la limite obtenue est la valeur de l’integrale que l’on note : Z b a f(x) dx .

On montre que cette limite existe si la fonction f est continue sur [a, b]. Pour a et b connus, R b a f(x) dx est appelee integrale definie, c’est un nombre. La variable x ne sert qu’a decrire la fonction f , on a R b a f(x) dx = R b a f(t) dt . La variable peut etre notee x, t , u , y , etc, sans que cela change la valeur de ce nombre; on dit que la variable est muette.

Ce nombre est positif si a < b et si f est positive sur [a, b], mais ce peut ˆetre un nombre n´egatif, en particulier si f est n´egative sur [a, b].

L’analyse naît dans les années 1600, avec les travaux de Newton et Leibniz entre autres, mais des idées surtout de l’intégrale remontent à Archimède autour de 250 avant J.-C. Il s’agit d’un des domaines des mathématiques les plus importants, ayant des applications partout dans les sciences ainsi qu’une influence énorme sur les autres domaines des mathématiques.

Le concept central de l’analyse est celui de la variation d’une quantité. En science on s’intéresse souvent à l’évolution d’un système : étant donné sa position initiale comment prédire son état dans l’avenir ? Évidement les variations et donc l’analyse jouent un rôle primordial. Historiquement, l’analyse était conçu pour mieux comprendre la mécanique : les mouvements des planètes, la trajectoire d’un boulet de canon cours analyse 2 calcul intégral et équations différentielles mip, etc.

Plus récemment l’analyse se retrouve partout. En économie (prix d’un bien), en biologie (taille d’une population), en écologie (niveau de la mer) ainsi que dans d’autres sciences, on s’intéresse à des quantités qui évoluent dans le temps et donc à l’étude des variations, c’est à dire à l’analyse .

Équations différentielles

On appelle dérivée seconde de f’’(x) la dérivée de f’(x), elle même dérivée de f(x). On définit ainsi la dérivée d’ordre n de f, notée f(n) . Une équation différentielle d’ordre n est une équation où l’inconnue est une fonction f(x) et qui fait intervenir la dérivée d’ordre n de f et éventuellement x, f(x) et les dérivées intermédiaires.

Nous avons tout ce qu’il faut maintenant pour voir les premières applications de l’analyse aux équations différentielles. Une équation différentielle est une équation dont l’inconnue est une fonction f et dans laquelle les dérivées de f apparaissent.

Équations linéaires du premier ordre : On a déjà vu un exemple très simple d’une équation différentielles, celle d’une primitive : f ′ = g où g est une fonction donnée et f est la fonction inconnue. Cette équation est un cas particulier d’une classe importante d’équations, celle de la forme suivante : f ′ (x) + p(x)f(x) = q(x) où p et q sont des fonctions données.

Nous résoudrons cette équation avec l’aide d’une fonction « auxiliaire » M : R → R. L’idée est de multiplier les deux cotés de l’équation par M pour obtenir Mf′ + M pf = Mq. Cet artifice a pour but de faire apparaître du coté gauche la dérivée d’un produit, à savoir (Mf) ′ . Vu que (Mf) ′ = Mf′ + M′f, il nous faut choisir M de sorte que M′ = M p.
Équations de Newton : Les deux classes d’équations que nous avons vues ci-dessus sont toutes les deux linéaires. Elles sont de la forme L(f) = q où L(f) est une expression linéaire en f et en ses dérivées, analyse 2 Calcul intégral et équations différentielles mip s1 ce qui veut dire que pour deux fonctions f, g et des nombres réels a, b ∈ R, on a : L(af + bg) = aL(f) + bL(g).

Dans cette section, nous considérons un type d’équation non linéaire : les équations de Newton. Il s’agit d’une équation d’ordre deux de la forme :u ′′(t) = F(u(t)),où u est l’inconnue (une fonction dépendant du temps t par exemple) et où F, la force, est une fonction continue donnée. Une telle équation décrit la position u(t) d’un mobile de masse unitaire qui se déplace sous l’action d’une force F qui ne dépend que de la position.

C’est quoi l’analyse ?

L’analyse naît dans les années 1600, avec les travaux de Newton et Leibniz entre autres, mais des idées surtout de l’intégrale remontent à Archimède autour de 250 avant J.-C. Il s’agit d’un des domaines des mathématiques les plus importants, ayant des applications partout dans les sciences ainsi qu’une influence énorme sur les autres domaines des mathématiques.

Pour définir la variation instantanée d’une quantité q par rapport au temps t, on considère d’abord les valeurs q(t) et q(t+h) de la quantité q en deux instants t et t+h. La différence q(t + h) − q(t) est la variation totale après h unités de temps. La variation moyenne est donc V (t, h) = q(t + h) − q(t) / h.

Pour trouver la variation instantanée de q en t, on considère la quantité V (t, h) lorsque h devient de plus en plus petit. Autrement dit, on prend la limite de V (t, h) lorsque h tend vers zéro Analyse 2 Calcul intégral et équations différentielles  mip. Si on met simplement h = 0 simultanément dans le numérateur et dans le dénominateur, on arrive à zéro divisé par zéro, qui n’a pas de sens. On doit donc trouver une manière plus raffinée de donner du sens à cette limite.

Dans ses début, l’analyse se basait sur l’intuition géométrique. Les premiers analystes réussirent à résoudre des problèmes spectaculaires, y compris la prédiction de l’orbite elliptique d’une planète ainsi que la construction des télescopes nécessaires pour vérifier cette prédiction. En revanche, il a été rapidement reconnu que les mêmes arguments qui avaient donné ses résultats remarquables peuvent mener à des conclusions complètement absurdes (voir plus tard pour des exemples). Comment donc savoir si on utilisait correctement les techniques de l’analyse.

Le problème majeur venait de l’usage des quantités « infinitésimales ». Au début, les concepteurs de l’analyse traitaient h dans (1.1) comme étant « infiniment petit, » mais pas zéro. C’est dans l’usage de telles quantités infinitésimales que toutes les erreurs pouvaient se cacher. Ce n’est que dans les années 1800 qu’un traitement tout à fait rigoureux (selon les standards modernes) des limites a été développé et que l’analyse a vu l’apparition de ses fondations solides.

Cette approche rigoureuse de l’analyse a eu deux effets. Analyse 2 Calcul intégral et équations différentielles  mip Premièrement, les conclusions absurdes parfois obtenues par l’usage hasardeux des quantités infinitésimales ont été expliquées et sont désormais évitables. Deuxièmement, cette nouvelle approche, mettant la rigueur en valeur, a rendu possible la création de techniques plus puissantes et continue encore de nos jours à donner des solutions à des problèmes ardus dans de nombreux domaines scientifiques et mathématiques.
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