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Cours analyse bcg s2 et mip pdf

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salut à tous cher étudiant voilà le Cours analyse bcg s2 et mip pdf et vous pouvez le télécharger en format pdf, ce cours d’analyse est permettre aux étudiants de savoir appliquer le théorème des accroissements finis, et calculer la limite d’une suite réelle, calculer les primitives et les intégrales et de savoir résoudre les équations différentielles linéaires du premier ordre et du deuxième ordre.

Limites et fonctions continues

L’analyse mathematique est l’etude approfondie du calcul differentiel et integral. Ce cours porte sur le calcul differentiel. On y resume d’abord les proprietes des nombres reels sous la forme de quatorze axiomes simples puis on en deduit rigoureusement l’ensemble des resultats du calcul differentiel.

Dans l’ordre suivant : la notion de limite d’une suite ou d’une serie numerique, la notion de limite d’une « variable continue », cours analyse bcg mip la definition et les proprietes d’une fonction continue, la definition et les proprietes d’une fonction derivable et, comme application, la definition et les proprietes d’une fonction convexe.

Une certaine familiarite avec le calcul infinitesimal est presupposee de la part de l’etudiant — bien qu’elle ne soit pas, d’un point de vue strictement logique, requise.

La construction du corps des nombres reels a partir des premiers principes de la theorie des ensembles ne fait pas partie du cours. Toutefois, passer en revue les diverses etapes menant aux nombres reels est une bonne introduction a la theorie formelle qui suit.

On peut penser que les entiers naturels, que nous denotons de nos jours par 1, 2, 3, . . . sont apparus a propos de questions de denombrement, l’operation d’addition m + n de deux tels nombres correspondant a la reunion d’ensembles disjoints et leur multiplication mn etant tout simplement une addition abregee : mn = n + n + · · · + n | {z } .

Une relation d’ordre naturelle m < n existe entre ces entiers, correspondant a l’inclusion des ensembles qu’ils denombrent. Les besoins du commerce amenerent ensuite l’introduction des nombres entiers negatifs −n puis celle des fractions m/n et enfin celle du nombre 0, la relation d’ordre etant prolong´ee de fa¸con assez directe a ces nouveaux nombres.

A cette etape, l’on disposait d’un systeme numerique ferme sous les quatre operations de l’arithmetique — addition, soustraction, multiplication et division. Le d´eveloppement de la geometrie fit apparaıtre des nombres irrationnels (certaines longueurs ne pouvaient pas etre mesurees par des nombres pouvant se mettre sous la forme m/n).

 et les Grecs surent relever le defi pose par cours analyse bcg mip ces derniers en construisant rigoureusement un systeme de nombres les englobant, systeme que nous appelons aujourd’hui le corps des nombres reels et que nous denotons par R.

Les nombres réels

Nombres rationnels : On designe par N l’ensemble des entiers naturels N = {0, 1, 2, 3, . . .}. Comme chaque entier naturel n admet un successeur n + 1, on se convainc sans peine que N est un ensemble infini. On note N ∗ l’ensemble N \ {0}, c’est-a-dire l’ensemble des entiers naturels non nuls.

Nombres reels : La proposition 1.1.1 dit que √ 2 n’est pas rationnel, c’est-a-dire ne peut pas s’ecrire comme quotient de deux entiers. Cependant nous savons que le nombre √ 2 peut s’ecrire sous forme d’un developpement decimal infini √ 2 = 1, 41421356 . . .

Definition : (nombre reel) Un nombre reel est une cours analyse bcg mip pdf collection de chiffres {c0, . . . , cm} et {d1, d2, . . .} compris entre 0 et 9. Les chiffres ci sont en nombre fini et les chiffres dj peuvent etre en nombre infini. On fait correspondre a cette collection le nombre donne par le developpement decimal X = CmCm−1 . . . C1C0, d1d2d3 . . . dn . . . .
L’étude des suites numériques a pour objet la compréhension de l’évolution de séquences de nombres (réels, complexes ...). Ceci permet de modéliser de nombreux phénomènes de la vie quotidienne. Supposons par exemple que l’on place une somme S à un taux annuel de 10%. Si Sn représente la somme que l’on obtiendra après n années, on a S0 = S S1 = S × 1, 1 . . . Sn = S × (1, 1) n .

La suite est notée u, ou plus souvent (un )n∈N ou simplement (un ). Il arrive fréquemment que l’on considère des suites définies à partir d’un certain entier naturel n0 plus grand que 0, on note alors (un )n>n0 .

Développements limités

Prenons l’exemple de la fonction exponentielle. Une idée du comportement de la fonction f (x) = exp x autour du point x = 0 est donné par sa tangente, dont l’équation est y = 1 + x. Nous avons approximé le graphe par une droite.

Si l’on souhaite faire mieux, quelle parabole d’équation y = c0 + c1 x + c2 x 2 approche le mieux le graphe de f autour de x = 0? Il s’agit de la parabole d’équation y = 1 + x + 1 2 x 2 . Cette équation à la propriété remarquable que si on note g(x) = exp x − 1 + x + 1 2 x 2 alors g(0) = 0, g 0 (0) = 0 et g 00(0) = 0.

Trouver l’équation de cette parabole c’est faire un développement limité à l’ordre 2 de la fonction f . Bien sûr si l’on veut être plus précis, on continuerait avec une courbe du troisième degré qui serait en fait y = 1 + x + 1 2 x 2 + 1 6 x 3 .

Formules de Taylor : Nous allons voir trois formules de Taylor, elles auront toutes la même partie polynomiale mais donnent plus ou moins d’informations sur le reste. Nous commencerons par la formule de Taylor avec reste intégral qui donne une expression exacte du reste.

Puis la formule de Taylor avec reste f (n+1) (c) qui permet d’obtenir un encadrement du reste et nous terminons avec la formule de Taylor-Young très pratique si l’on n’a pas besoin d’information sur le reste.

Soit I ⊂ R un intervalle ouvert. Pour n ∈ N ∗ , on dit que f : I → R est une fonction de classe C n si f est n fois dérivable sur I et f (n) est continue. f est de classe C 0 si f est continue sur I. f est de classe C ∞ si f est de classe C n pour tout n ∈ N.

Autre chapitres : Limites et fonctions continues Fonctions usuelles Dérivée d’une fonction Intégrales Courbes paramétrées cours analyse bcg mip pdf Équations différentielles.


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