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Cours Analyse numérique 1 mip s4 pdf

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Cours Analyse numérique 1 mip s4
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Salut à tous cher étudiant voilà le cours analyse numérique 1 mip s4 pdf et vous pouvez le télécharger en format pdf, L'objet de l'analyse numerique est de concevoir et d'etudier des methodes de resolution de certains problemes mathematiques, en general issus de problemes reels, et dont on cherche calculer la solution a l'aide d'un ordinateur.

Ce cours introduira les étudiants à l'analyse numérique. Il aborde les thèmes suivants :
Introduction au calcul numérique, Résolution des équations numériques, Interpolation polynomiale, Dérivation et intégration numériques Résolution des équations différentielles ordinaires Résolution de systèmes linéaires.

Introduction au calcul numérique 

L’analyse numérique a commencé bien avant la conception des ordinateurs et leur utilisation quotidienne que nous connaissons aujourd’hui. Les premières méthodes ont été développées pour essayer de trouver des moyens rapides et efficaces de cours analyse numérique 1 mip s4 s’attaquer à des problèmes soit fastidieux à résoudre à cause de leur grande dimension (systèmes à plusieurs dizaines d’équations par exemple), soit parce qu’il n’existe pas solutions explicites connues même pour certaines équations assez simples en apparence.

Dès que les premiers ordinateurs sont apparus, ce domaine des mathématiques a pris son envol et continue encore à se développer de façon très soutenue.

Les applications extraordinairement nombreuses sont entrées dans notre vie quotidienne directement ou indirectement. Nous les utilisons désormais sans nous en rendre compte mais surtout en ignorant la plupart du temps toute la théorie, l’expertise, le développement des compétences et l’ingéniosité des chercheurs pour en arriver là.

Nous pouvons téléphoner, communiquer par satellite, faire des recherches sur internet, regarder des films où plus rien n’est réel sur l’écran, améliorer la sécurité des voitures, des trains, des avions, connaître le temps qu’il fera une semaine à l’avance,...et ce n’est qu’une infime partie de ce que l’on peut faire.

L’ordinateur est aujourd’hui un outil incontournable pour simuler et modéliser des systèmes complexes, mais il faut encore savoir exprimer nos problèmes (physiques, économiques, biologiques. . .) en langage formalisé des mathématiques pures sous la forme d’équations mathématiques (différentielles, intégrales. . .).

Nous sommes habitués à résoudre les problèmes de façon analytique, alors que l’ordinateur ne travaille que sur des suites de nombres. On verra qu’il existe souvent plusieurs approches pour résoudre un même problème, ce qui conduit à des algorithmes différents. Un des objectifs de ce cours est de fournir des bases rigoureuses pour développer quelques algorithmes utiles dans la résolution de problèmes en mathématique, économie, physique. 

Un algorithme, pour être utile, doit satisfaire un certain nombre de conditions. Il doit être : rapide : le nombre d’opérations de calcul pour arriver au résultat escompté doit être aussi réduit que possible . précis : l’algorithme doit savoir contenir cours analyse numérique 1 mip s4 les effets des erreurs qui sont inhérentes à tout calcul numérique (ces erreurs peuvent être dues à la modélisation, aux données, à la représentation sur ordinateur ou encore à la troncature) souple : l’algorithme doit être facilement transposable à des problèmes différents.

Le choix et l’optimisation des algorithmes numériques mis en pratique sont absolument cruciaux tant pour les calculs de type industriel souvent très répétitifs et devant donc pouvoir être exécutés en un temps très court, que pour les calculs de référence pour lesquels la seule limite est la patience de celui qui les fait. Par exemple, en fluidodynamique, en laissant tourner une station de travail pendant quelques jours, les numériciens résolvent des systèmes frisant le milliard d’inconnues.

L’expérience montre qu’entre une approche numérique standard et une approche soigneusement réfléchie et optimisée un gain de temps de calcul d’un facteur 100, voire davantage, est souvent observé. Il est clair qu’on peut passer ainsi, grâce à cet effort, d’un calcul totalement déraisonnable à un calcul parfaitement banal : cours analyse numérique 1 mip s4 tout l’enjeu de l’analyse numériques est là ! C’est dire l’importance pour tous scientifique de bien connaître ces méthodes, leurs avantages et leurs limites.

Sources et mesures de l’erreur

Les méthodes numériques sont souvent utilisées pour résoudre des problèmes concrets. Lors de l'utilisation des méthodes numériques, on distingue plusieurs sources d'erreur : erreur due au modèle (qui est une approximation de la réalité), cours analyse numérique 1 mip s4  erreur sur les données, rreur de calcul (numérique).

Le simple fait d’utiliser un ordinateur pour représenter des nombres réels induit des erreurs. Par conséquent, plutôt que de tenter d’éliminer les erreurs, il vaut mieux chercher à contrôler leur effet. Généralement, on peut identifier plusieurs niveaux d’erreur dans l’approximation et la résolution d’un problème physique.

Au niveau le plus élevé, on trouve l’erreur qui provient du fait qu’on a réduit la réalité physique à un modèle mathématique. De telles erreurs limitent l’application du modèle mathématique à certaines situations et ne sont pas dans le champ du contrôle du Calcul Scientifique.
On ne peut généralement pas donner la solution explicite d’un modèle mathématique (qu’il soit exprimé par une intégrale, une équation algébrique ou différentielle, un système linéaire ou non linéaire). La résolution par des algorithmes numériques entraîne immanquablement l’introduction et la propagation d’erreurs d’arrondi.

De plus, il est souvent nécessaire d’introduire d’autres erreurs liées au fait qu’un ordinateur ne peut effectuer que de manière approximative des calculs impliquant un nombre infini d’opérations arithmétiques. Par exemple, le calcul de la somme d’une série ne pourra être accompli qu’en procédant à une troncature convenable.

On doit donc définir un problème numérique, dont la solution diffère de la solution mathématique exacte d’une erreur, appelée erreur de troncature. La somme des erreurs d’arrondis et de troncature constitue l’erreur de calcul. L’erreur de calcul absolue est la différence entre x, la solution exacte du modèle mathématique, et x˜, la solution obtenue à la fin de la résolution numérique, tandis que (si x 6= 0) l’erreur de calcul relative est définie par l’erreur de calcul absolue divisé par x.

Le calcul numérique consiste généralement à approcher le modèle mathématique en faisant intervenir un paramètre de discrétisation, que nous noterons h et que nous supposerons positif cours analyse numérique 1 mip s4 . Si, quand h tend vers 0, la solution du calcul numérique tend vers celle du modèle mathématique, nous dirons que le calcul numérique est convergent.

Si de plus, l’erreur (absolue ou relative) peut être majorée par une fonction de Chp où C est indépendante de h et où p est un nombre positif, nous dirons que la méthode est convergente d’ordre p. Quand, en plus d’un majorant, on dispose d’un minorant C1h p (C1 étant une autre constante (≤ C) indépendante de h et p), on peut remplacer le symbole ≤ par = .

Résolution de systèmes linéaires

De nombreux phénomènes de physique ou d’économie se traduisent par des systèmes linéaires de plus ou moins grande dimension. Le problème de la grille illustré dans la figure 1 est un exemple typique. Les 20 extrémités de la grille que sont les points pi , qi , di et gi , i = 1,...,5.

Représentés par des disques de couleur blanche sur la figure, sont portés aux températures t(pi), t(qi), t(di) et t(gi). Le problème est de déterminer la température aux nœuds ni, j représentés par des disques de couleur noire, sachant que la température en un nœud donné est égale à la moyenne des températures des autres nœuds auxquels il est connecté.

Un système linéaire d'ordre n est une expression de la forme : AX = B où A = (aij), i,j=1,n désigne une matrice de taille n x n de nombres réels, B = (bi), i=1,n, un vecteur colonne réel et X = (xi), i=1,n, est le vecteur des inconnues du système. cours analyse numérique 1 mip La relation précédente équivaut aux équations.

Si la matrice A est régulière, c'est-à-dire det(A)0, alors le système linéaire AX=B admet une solution unique quelque soit le vecteur B. Où Ai est la matrice obtenue en remplaçant la ième colonne de A par le vecteur B. Le calcul de la solution X par la méthode de Cramer pour n assez grand (n100) est de l'ordre de n.(n+1)!, ce qui montre qu'il n'est pas envisageable d'utiliser cette méthode pour des systèmes linéaires de grande taille.

Il faut donc développer des algorithmes alternatifs avec un coût raisonnable. Dans les sections suivantes, on va analyser les méthodes dites directes.

On appelle méthode de résolution directe d'un système linéaire un algorithme qui, si l'ordinateur faisait des calculs exacts (pas d'erreurs d'arrondi), donnerait la solution exacte en un nombre fini d'opérations élémentaires. cours analyse numérique 1 mip Il existe aussi des méthodes itératives qui consistent à construire une suite de vecteurs xn convergeant vers la solution x. Selon le type et la taille de la matrice A, on utilise une méthode directe ou une méthode itérative.


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